subject

Coursera: Введение в математические методы физики

 with  Скворцов Михаил Андреевич, Колоколов Игорь Валентинович, Бурмистров Игорь Сергеевич, Фоминов Яков Викторович and Фейгельман Михаил Викторович
Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

Syllabus

Приближенное вычисление определенных интегралов. Интегралы с «малым параметром»
Добро пожаловать! В первом модуле курса Вы изучите методы приближенных аналитических вычислений интегралов и рядов, которые содержат малый или большой параметр. Вы научитесь определять существенную область интегрирования и делать приближения на основе этого. Кроме того, Вы познакомитесь с важным для физики понятием асимптотического ряда. В лекциях будет разобрано большое число примеров приближенного вычисления интегралов и рядов, которые помогут Вам справится с контрольным тестом в конце модуля.

Вычисление интегралов методом перевала
Этот модуль посвящен одному из самых распространенных методов приближенного вычисления определенных интегралов - методу перевала. Основная идея описываемого подхода состоит в сведении интеграла от функции с резким максимумом к простому Гауссовому виду. В этом разделе Вы узнаете, как и при каких условиях такая процедура может быть реализована на практике. Помимо этого, мы обсудим Гамма-функцию. Гамма-функция является естественным обобщением факториала на все положительные вещественные числа. При помощи метода перевала, Вы научитесь вычислять значение этой функции приближенно. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Дифференцирование интеграла по параметру
В этом модуле рассматривается метод точного и приближенного вычисления определенных интегралов, который полагается на дифференцирование по параметру, входящему в подынтегральное выражение. Довольно часто такое дифференцирование позволяет свести вычисление сложного или громоздкого интеграла к использованию уже известных ответов, полученных для более простых интегралов. Отдельное внимание в модуле уделяется вопросу о регуляризации расходящихся интегралов, то есть выделении из них конечной части, содержащей в себе всю зависимость интеграла от параметра. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций
В этом модуле Вы познакомитесь с методами приближенного и точного вычисления интегралов от быстро меняющихся функций. Такие функции могут иметь четко выраженные пики или же сильно колебаться от отрицательных значений к положительным. Вы научитесь аккуратно учитывать эти особенности при анализе интегралов. Кроме того, Вы научитесь работать с дельта-функцией Дирака, которая повсеместно возникает в приложениях. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Интегрирование в криволинейных координатах
Выражения, в которых интегрирование выполняется более чем по одной переменной, повсеместно встречаются в прикладных задачах. Такие многократные интегралы зачастую удобно вычислять в криволинейных координатах, которые отражают симметрию рассматриваемой системы или наложенных на нее граничных условий. В этом разделе Вы научитесь производить переход к криволинейным координатам под знаком интеграла. Вы узнаете, что такое метрический тензор, и поймете, как это понятие помогает находить площади и объемы фигур в произвольных системах координат. В частности, мы подробно обсудим тороидальные и сферически координаты. Большой упор в этом модуле делается на задачи для самостоятельного решения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения
Этот модуль открывает большой блок курса, посвященный изучению дифференциальных уравнений. Мы начнем с рассмотрения самых простых (однако, фундаментально важных) уравнений первого порядка. Затем мы перейдем к изучению систем линейных дифференциальных уравнений. Вы узнаете, как такие системы могут быть решены при помощи матричной экспоненты. Экспонента, возведенная в степень матрицы - это довольно нетривиальный объект, и его явное вычисление является отдельным вопросом, который мы подробно обсудим. Завершится модуль заданием из шести задач.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с «малым параметром»
Часто бывает так, что ту или иную сложную физическую задачу, решение которой неизвестно, можно свести к какой-то хорошо изученной системе с добавлением небольшого возмущения. При этом, возмущение, в меру его малости, можно учитывать приближенно, что позволяет с некоторой точностью решить исходную задачу. В этом модуле Вы научитесь приближенно решать дифференциальные уравнения с малыми параметрами, рассматривая малые члены в уравнении как возмущение. На примере задач с гармоническим осциллятором, Вы познакомитесь с важным понятием секулярных поправок, то есть поправок к решению дифференциального уравнения, возрастающих со временем. Наличие таких вкладов в решении может сигнализировать о неприменимости наивной теории возмущений на больших временах и необходимости введения в нее модификаций. Вы научитесь использовать улучшенную теорию возмущений, которая аккуратно обрабатывает секулярные возмущения, и применимую на больших временах. В модуле Вам будут предложены два задания для самостоятельного решения. Будьте готовы: этот модуль - самый объемный в курсе!

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений вариационным методом
Во многих случаях, задача о решении дифференциального уравнения - даже довольно сложного - может быть эквивалентно представлена в виде вариационной задачи о нахождении экстремума некоторого функционала. Такое представление часто оказывается очень плодотворным, ведь находить минимум или максимум функционала можно приближенно - на классе правильным образом выбранных пробных функций. Полученное решение, не являясь параметрически точным, дает качественное представление о характере решения исходного дифференциального уравнения. В этом модуле, Вы научитесь реализовывать описанную схему на практике. В качестве примеров, мы рассмотрим принцип наименьшего действия в классической механике, а также поговорим о вариационных решениях электростатических задач. Завершится модуль тестом, в котором Вам будут предложены четыре упражнения на вариационные методы, мотивированные различными физическими задачами.

Теория возмущений в линейной алгебре для собственных чисел и собственных векторов конечномерных матриц; снятие вырождения возмущением
В этом модуле Вы познакомитесь с тем, как теория возмущений применяется в линейной алгебре. Речь пойдет о приближенном нахождении собственных векторов и собственных значений нормальных матриц. Вы изучите, как и в каких случаях можно использовать теорию возмущений для этой задачи. Мы обсудим поправки как к невырожденным, так и к вырожденным собственным значениям матриц. Завершит модуль тест, состоящий из пяти задач.

Преобразования Фурье
В этом модуле Вы познакомитесь с очень важной техникой - преобразованием Фурье. Преобразование Фурье находит применение в огромном числе приложений: от анализа звуковых сигналов и радиотехники, до теоретической физики. Вы научитесь применять преобразование Фурье для решения различных физических и математических задач. Особое внимание будет уделено использованию преобразования Фурье в линейных задачах с трансляционной инвариантностью, а также решению обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

0 Student
reviews
Cost Free Online Course (Audit)
Pace Upcoming
Subject Physics
Provider Coursera
Language Russian
Certificates Paid Certificate Available
Hours 4-6 hours a week
Calendar 10 weeks long
Sign up for free? Learn how

Disclosure: To support our site, Class Central may be compensated by some course providers.

+ Add to My Courses
FAQ View All
What are MOOCs?
MOOCs stand for Massive Open Online Courses. These are free online courses from universities around the world (eg. Stanford Harvard MIT) offered to anyone with an internet connection.
How do I register?
To register for a course, click on "Go to Class" button on the course page. This will take you to the providers website where you can register for the course.
How do these MOOCs or free online courses work?
MOOCs are designed for an online audience, teaching primarily through short (5-20 min.) pre recorded video lectures, that you watch on weekly schedule when convenient for you.  They also have student discussion forums, homework/assignments, and online quizzes or exams.

Reviews for Coursera's Введение в математические методы физики
Based on 0 reviews

  • 5 star 0%
  • 4 star 0%
  • 3 star 0%
  • 2 star 0%
  • 1 star 0%

Did you take this course? Share your experience with other students.

Write a review

Class Central

Get personalized course recommendations, track subjects and courses with reminders, and more.

Sign up for free